La ley Benford y la población de los municipios de España

Si tomamos una fuente de datos basada en números que aparecen en la vida cotidiana, como pueden ser, por ejemplo, el precio de las facturas del gas, los números de las calles de una cierta ciudad o la población de los municipios de España, parece bastante lógico pensar que la aparición de los dígitos del 1 al 9 en estas cifras es totalmente aleatoria. Por esto, si nos fijamos en el primer dígito de todos estos datos cabria pensar que las cifras del 1 al 9 aparecerán en la primera posición un número similar de veces. Sin embargo esto no ocurre así, pues las muestras tomadas del mundo real, aunque puedan parecerlo, no son totalmente aleatorias.

2429_Benford-Frank

La ley Benford, también conocida como la ley del primer dígito, hace referencia a la frecuencia con la que aparecen, en primer lugar, los dígitos del 1 al 9, en datos de la vida cotidiana. Esta frecuencia viene dada por la función:

p(x)

donde  es el valor de la cifra en cuestión y es la probabilidad de que dicha cifra aparezca en primer lugar. Así, según la función descrita por Benford la frecuencia de aparición de las cifras del 1 al 9 como primer dígito (en una serie de datos tomados de la vida real) viene dada por la siguiente tabla:

prim_cifr

es decir, si tomamos una lista grande de datos, estas cifras empezarán por 1 un 30,1% de las veces, por 2 un 17,6% de las veces y así sucesivamente.

Teóricamente todo esto esta muy bien, pero si tomamos datos reales ¿será cierto que se ajustan a la curva descrita por Benford?

Para cerciorarnos de que esto es así (no sólo de forma teórica) me he tomado la libertad de tomar los datos reales del censo de 2012 del Instituto Nacional de Estadística (INE). Estos datos son públicos y se pueden buscar como “Cifras de población resultantes de la Revisión del Padrón Municipal a 1 de Enero de 2012. Datos por municipios”. Observando los datos de las poblaciones de los 8116 municipios españoles, se tiene que la aparición de las cifras del 1 al 9 como primer dígito viene dada por la tabla siguiente:

pc_ap_fr

A primera vista, parece que los datos reales y los teóricos se parecen mucho, basta comparar la última fila de ambas tablas. Pero puesto que una imagen vale más que mil palabras, para concluir, vamos a comparar gráficamente los datos reales con la curva descrita por la función de Benford.

grafic

¡Los datos reales se ajustan de forma casi perfecta a la función descrita por Benford!

Víctor M. Manero
Personal Docente Investigador de la Universidad del País Vasco / Euskal Herriko Unibertsitatea

Si voleu conèixer més publicacions de l’autor, podeu visitar la seva pàgina web:

https://sites.google.com/site/victormmanero/divulgation

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